Approssimazione di funzioni tramite proiezioni
(A cura di S. Frambati e G. Vercelli - a.a. 2003/04)
Il metodo di approssimazione delle funzioni di gran lunga più conosciuto e utilizzato è quello dei polinomi di Taylor.
Tuttavia, quando si arriva a dover implementare tale metodo in un programma, ci si scontra con la difficoltà di non riuscire a calcolare efficacemente le derivate successive di una funzione.
Un metodo alternativo e di grande effetto è fornito dall'algebra lineare.
Lo spazio delle funzioni è infatti uno spazio lineare, su cui, fissato un intervallo (a,b), si può definire il prodotto scalare tra due funzioni:
fatto questo è possibile scegliere un opportuno sottospazio (ad esempio, i polinomi di gradio <4) e proiettarvi qualunque funzione (analogamente a come si proietta un vettore su un piano).
Esiste un teorema, detto teorema di approssimazione, che ci assicura che tra tutte le funzioni appartenenti al sottospazio scelto, la proiezione p(x) così ottenuta rende minima la quantità:
ovvero rende minima l'area compresa tra le due curve nell'intervallo scelto.
In questo modo si approssima efficacemente la funzione nell'intero intervallo (a,b), a differenza di quanto si ottiene con i polinomi di Taylor, ove l'approssimazione è "locale" (puntuale).
Esempio di traccia:
- Si parte da una base del sottospazio approssimante: ad esempio, per i polinomi fino al terzo grado, da
;
- Si applica il procedimento di Gram-Schmidt e si ottiene una base ortogonale, che andrà normalizzata;
- Si proietta la funzione sulla base ortonormale ottenuta.
- Può essere interessante confrontare un polinomio approssimante ottenuto in questo modo con il polinomio di Taylor di pari grado, per osservare la differenza sostanziale tra i due metodi. E' possibile a tal fine utilizzare un funzione "famosa" di cui siano note le derivate.
NB: Poichè ogni funzione viene scritta come somma di elementi della base "canonica",
ciascuno moltiplicato per un opportuno coefficiente, può risultare utile identificare
la funzione con il vettore che ha per componenti tali coefficienti.
Le operazioni di somma/sottrazione andranno quindi effettuate su questi coefficienti.
Ad esempio se si vogliono sommare, diciamo, 1-x+3x2 e 2+9x-5x2, si sommeranno i coefficienti dei monomi di eguale grado: 1 con 2, -1 con 9 e 3 con -5.
Analogamente, se si vuole moltiplicare una funzione per un numero,
si moltiplicheranno per tale numero tuttoi i relativi coefficienti.
Quando si tratterà di calcolare il valore della funzione in un punto, basterà allora moltiplicare ogni componente di tale vettore per x elevata all'esponente opportuno e poi sommare tutti i contributi.