Metodi matematici della fisica 1
Metodi matematici della fisica 1
a.a. 2011-12
Docente: Nino Zanghì
Orario: martedì 11 - 13, venerdì 10 - 13
Linee generali del corso:
- Analisi complessa
- Elementi di analisi funzionale
- Analisi di Fourier
- Cenni sulle funzioni generalizzate (distribuzioni)
- Applicazione delle trasformate integrali (Fourier e Laplace) alla risoluzione di problemi al contorno
- Cenni sui gruppi di trasformazioni
- Elementi di analisi asintotica
Testo di riferimento:
- Arfken e Weber, Mathematical Methods for Physicists
Testo di riferimento per l'analisi complessa:
- Needham, Visual Complex Analyis
- Martedì 20 settembre
- Illustrazione delle linee generali del corso
- Pre-requisiti di algebra e analisi
- Esempio di prova scritta
- Venerdì 23 settembre
- 1. Geometria e aritmetica complessa
- Introduzione storica
- Terminologia, notazioni e pratica
- Traslazioni e rotazioni
- La formula di Eulero
- Operazioni vettoriali
- Funzioni complesse come trasformazioni
- Polinomi
- Visualizzazione delle funzioni complesse
- Problemi
- Soluzioni
[13-10-11]
- Martedì 27 settembre
- 2. Successioni e serie
[19-10-11: aggiunta sez. 8]
- Successioni e serie infinite
- Condizioni fondamentali per le serie convergenti
- Il mistero delle serie di potenze reali
- Successioni e serie in spazi vettoriali metrici
- Successioni e serie nel piano complesso
- La nozione di serie assolutamente convergente
- Serie di potenze nel piano complesso
- Che cosa succede sul cerchio di convergenza
- Problemi
[19-10-11:] aggiunto problema sulle serie di Fourier
- Complementi
[19-10-11: aggiunto complemento sulla regolarizzazione di Abel]
- Soluzioni
[19-10-11: aggiunta discussione completa della convergenza sul cerchio di (1.i) e soluzione prob. 2.4]
- Venerdì 30 settembre
- 3. Convergenza uniforme e serie di potenze
[19-10-11: cambiato il titolo e aggiunta nota sull'unicità delle serie di potenze (p.3.5)]
- Convergenza uniforme
- Criterio di convergenza uniforme
- Approssimare una serie di potenze con un polinomio
- Unicità delle serie di potenze
- Manipolazione delle serie di potenze
- Come trovare il raggio di convergenza
- La funzione esponenziale
- Funzioni trigonometriche e iperboliche
- Problemi
- Soluzioni
[13-10-11]
- Martedì 4 ottobre
- Discussione problemi (lezione 2)
- Espansione in serie e raggio di convergenza di funzioni razionali (lezione 3)
- La funzione esponenziale (lezione 3)
- Venerdì 7 ottobre
- Discussione problemi
- Unicità dello sviluppo in serie
- Completamento della lezione 3
- Martedì 11 ottobre
- 4. Punti di diramazione e punto all'infinito
- Multifunzioni, punti di diramazione e rami
- Qualche esempio
- Rilevanza per le serie di potenze
- La funzione logaritmo
- La sfera di Riemann
- Singolarità e punti di diramazione all'infinito
- Problemi
[11-10-11]
- Complementi
[19-10-11: aggiunto complemento su logaritmo e serie di Fourier dell'onda a dente di sega]
- Soluzioni
[19-10-11]
- Venerdì 14 ottobre
- 5. Funzioni analitiche
[19-10-11: riorganizzate le sezioni; aggiunta una sez. sulle funzioni armoniche]
[20-10-11: nessun cambiamento di sostanza, soltanto aggiunte 2 figure all'inizio]
[21-10-11: aggiunta prop. (5.4) a chiarimento della discussione in classe su punti analitici ma non conformi]
- Descrizione locale di trasformazioni del piano
- Geometria delle trasformazioni analitiche
- Le equazioni di Cauchy-Riemann
- Questioni di analisi
- Conforme = analitico
- Funzioni armoniche
- Problemi
[14-10-11]
- Complementi
[14-10-11]
- Soluzioni
[19-10-11]
- Martedì 18 ottobre
- Discussione problemi
- Convergenza sul cerchio e serie di Fourier
- Completamento della lezione 5
- Venerdì 21 ottobre
- 6. Teorema di Cauchy
[20-10-11]
[21-10-11: semplificate le notazioni e le prime due sezioni; inserita figura per spiegare la relazione tra flusso in 2 dimensioni e in 3 (domanda in classe); aggiunta dimostrazione "pedante" della formula di Cauchy]
- Integrazione
- Campo vettoriale associato ad una funzione complessa
- Circuitazione e Flusso
- Significato fisico delle funzione analitiche
- Teorema di Cauchy
- Formula di Cauchy
- Problemi
[24-10-11]
- Complementi
[24-10-11]
- Soluzioni
[27-10-11]
- Martedì 25 ottobre
- 7. Teorema dei residui
[27-10-11 (aggiunta un'equazione nella sez. 7.8)]
- Antiderivata di una funzione analitica
- Qualche esempio
- Calcolo di integrali
- Teorema dei residui
- Funzioni meromorfe
- Singolarità essenziali
- Ci sono modi "veloci" per calcolare i residui?
- Residui all'infinito
- Tabella riassuntiva delle singolarità di una funzione
- Problemi
[24-10-11]
- Complementi
[26-10-11]
- Soluzioni
[28-10-11]
- Venerdì 28 ottobre
- 8. Calcolo di integrali
[29-10-11: aggiunte applicazioni all'equazione del calore, qualche figura e qualche faccione. ]
[03-11-11]: corretti diversi segni sbagliati, rese più chiare alcune parti]
[04-11-11]: tolto un 1/2 a p.9
- Il metodo dei residui
- Qualche esempio
- Qualche morale
- Trasformate di Fourier
- Integrale di una funzione con punti di diramazione
- Trasformate di Laplace
- Il metodo che piaceva a Feynman
- Problemi
[28-10-11]
- Soluzioni
[8-11-11] (tutti i problemi)
- Venerdì 2 Novembre
- Esempi di integrali calcolati con il metodo dei residui
- Lemma di Jordan
- Integrali di Fourier
- Equazione del calore
- Risoluzione dell'equazione del calore mediante trasformata di Fourier
- Martedì 15 Novembre
- Discussione di problemi
- Teoremi di Liouville, teorema fondamentale dell'algebra
- Teorema della media e funzioni armoniche
- Principio del massimo modulo
- Venerdì 18 novembre
- 9. Altre conseguenze del teorema di Cauchy
[10-12-11: eliminata vecchia sez. 5 (Fourier) e parte di essa (semplificata) spostata nel cap. 16; spostata parte della sez. sul prolungamento analitico nei complementi]
- Miscellanea di teoremi
- Infinita differenziabilità e serie di Taylor
- Serie di Laurent
- Espansione in multipoli
- Prolungamento analitico
- Problemi
[21-11-11]
- Complementi
[10-12-11: spostato del materiale dal sez. sul prolungamento analitico]
- Soluzioni
- Martedì 22 novembre (mattino)
- Martedì 22 novembre (pomeriggio)
- 11. Il paradiso dell'integrale di Fourier
[24-11-11: riorganizzato il materiale, aggiunta un'applicazione (nucleo del calore) e degli esempi alla fine]
- Trasformate di Fourier di funzioni buone
- Lemma di Riemann-Lebesque
- Identità di Parseval-Plancherel
- Teorema di convoluzione
- Il nucleo del calore
- Osservazioni, notazioni e convenzioni
- Proprietà delle trasformate di Fourier
- Trasformate di Fourier di funzioni generalizzate
- Problemi
- Complementi
[21-11-11: Aggiunti complementi su eq calore e applicazioni alla probabilità, come accennato in classe]
- Venerdì 25 novembre
- 12.L'equazione delle onde in una dimensione
[01-12-11: aggiunta una breve sezione sulla conservazione dell'energia]
- L'equazione omogenea delle onde
- Conservazione dell'energia
- L'equazione non omogenea delle onde
- Risoluzione mediante analisi di Fourier
- Martedì 29 novembre
- Equazione non omogenea delle onde
- Metodo di Fourier
- Causalità e aggiramento dei poli
- Venerdì 2 dicembre
- 13. Poli lungo il cammino e funzioni causali
[04-12-11: versione definitiva]
- Parte principale di Cauchy
- Teorema e formula di Cauchy generalizzate
- Formule integrali di Poisson per il semipiano
- Integrale di Fourier di funzioni causali
- Relazione tra le trasformate di Laplace e Fourier
- 14. Trasformate di Laplace
[04-12-11: versione definitiva]
- Relazione tra le trasformate di Laplace e Fourier
- Proprietà della trasformata di Laplace
- Nozione usuale di trasformata di Laplace
- Formula di inversione
- Problemi
[aggiunti il 04-12-11]
- Martedì 6 dicembre
- 15. Problema di Dirichlet nel piano
[08-12-11: versione definitiva ]
- Complementi sulle rappresentazioni conformi
- Distribuzione di temperatura in una piastra circolare
- Il problema di Dirichlet per l'equazione di Laplace
- Il nucleo di Poisson
- Teorema di convergenza uniforme
- Complementi
[08-12-11: Complementi sulla trasformazione "swap" e dimostrazione del teorema di convergenza uniforme]
- Venerdì 9 dicembre
- Martedì 13 dicembre
- Venerdì 16 dicembre
- Martedì 20 dicembre
- Venerdì 23 dicembre
21. Complementi sulla trasformata di Fourier*
[23-12-11]
22. Analisi Asintotica*
[23-12-11]
31-12-11 Soluzioni dei problemi dal cap. 9 al cap. 19
31-12-11: Reso definitivo il cap. 19. Correzioni di refusi/errori (da adesso in poi) SOLO nel file completo sotto.
31-12-11:
File completo
02-01-12, correzioni di refusi di vario tipo.
04-01-12: typo nel cap.14.
06-01-12, corretti 2 typo a p. 77 e 78.
07-01-12: corretto L^-1 p. 406, eq. (17.3), par 19.2, notazioni, eq (19.18), p.17 in fondo "a" invece di "x", p. 399, completamento quadrato, strafalcione a p.18.
27-01-12: correzione di molti refusi nei primi 3 capitoli, inclusi problemi e soluzioni, correzione nelle formule in fondo a p. 228.
07-02-12: correzioni di molti refusi nei capitoli 4-10; correzione di errori della dimostrazione nella seconda pagina del cap.10.
13-02-12: correzioni di refusi nei capitoli 11-22 e nelle risoluzioni dei problemi.
15-02-12: correzioni di refusi nei capitoli 11-22 e nelle risoluzioni dei problemi. Aggiunto nel cap. 11 contenuti di teoria utili per la risoluzione di un problema.
16-02-12: correzioni di refusi nei capitoli 18-20 e nelle risoluzioni dei problemi dei cap. 18 e 19.
27-02-12: (poche) correzioni nei capitoli 12, 13, 14, 16, 18 e nelle risoluzioni dei problemi dei cap. 8 e 11.
Esami: (scritti) 10 gennaio e 17 febbraio, ore 15. Eventuali variazioni verranno segnalate qui.
PROVE SCRITTE
- 10 gennaio 2012
Votazioni
- 17 febbraio 2012
Votazioni