Metodi matematici della fisica 1
Metodi matematici della fisica 1
a.a. 2010-11
Docente: Nino Zanghì
Orario: martedì 11 - 13, venerdì 10 - 13
Linee generali del corso:
- Analisi complessa
- Elementi di analisi funzionale
- Analisi di Fourier
- Cenni sulle funzioni generalizzate (distribuzioni)
- Applicazione delle trasformate integrali (Fourier e Laplace) alla risoluzione di problemi al contorno
- Cenni sui gruppi di trasformazioni
- Elementi di analisi asintotica
Testo di riferimento:
- Arfken e Weber, Mathematical Methods for Physicists
Testo di riferimento per l'analisi complessa:
- Needham, Visual Complex Analyis
- Lezione zero (martedì 28 settembre)
- Illustrazione delle linee generali del corso.
- Introduzione storica: Bombelli, le equazioni algebriche di terzo grado e
la scoperta dei numeri complessi.
- Richiami di algebra e analisi: campi (dei razionali, dei reali e dei complessi).
Completezza topologica e completezza algebrica.
- Prima lezione (martedì 5 ottobre)
- Geometria e aritmetica complessa
- Terminologia e notazioni
- Equivalenza dell'aritmetica geometrica e simbolica
- Operazioni vettoriali
- La formula di Eulero
- Funzioni complesse come trasformazioni
- Introduzione
- Polinomi
- Serie di potenze
- Il mistero delle serie di potenze reali
- Disco di convergenza
- Approssimazione di una serie di potenze con un polinomio
- Seconda lezione (venerdì 8 ottobre)
- Complementi sulle serie di potenze
- Convergenza uniforme
- Criteri per trovare il raggio di convergenza
- La funzione esponenziale, seni e coseni
-
Il gruppo delle trasformazioni di Möbius
- Rette e cerchi in rette e cerchi
- Trasformazioni conformi
- Proprietà di gruppo
- Il gruppo delle trasformazioni di Möbius e i gruppi GL(2,C) e SL(2,C)
- La sfera di Riemann
- Terza lezione (martedì 12 ottobre)
- Multifunzioni
- Esempio: potenze frazionarie
- Punti di diramazione di una multifunzione
- Rami di una multifunzione
- Rilevanza per le serie di potenze
- Un esempio con due punti di diramazione
- La funzione logaritmo
- Singolarità e punti di diramazione all'infinito
- Quarta lezione (venerdì 15 ottobre)
- Funzioni analitiche
- Un fenomeno strano
- Descrizione locale di trasformazioni del piano complesso
- Significato geometrico della derivata complessa
- Conforme = analitico
- Le equazioni di Cauchy-Riemann
- Definizioni analitiche di derivata e di funzione analitica
- Integrazione complessa
- Campo vettoriale associato ad una funzione complessa
- Integrazione
- Circuitazione e Flusso
- Funzioni analitiche = campi solenoidali e irrotazionali nel piano
- Significato fisico delle funzione analitiche
- Teorema di Cauchy
- Formula di Cauchy
- Quinta lezione (lunedì 18 ottobre)
- Conseguenze del teorema di Cauchy I
- Antiderivata di una funzione analitica
- Qualche esempio
- Calcolo di integrali
- Poli e calcolo dei residui
- Funzioni meromorfe
- Singolarità essenziali
- Tabella riassuntiva delle singolarità di una funzione
- Sesta lezione (venerdì 22 ottobre)
- Conseguenze del teorema di Cauchy II
- Teorema di Deformazione
- Teorema e formula di Cauchy per regioni molteplicemente connesse
- Teorema di Morera, Teorema di Liouville e Teorema fondamentale dell'algebra
- Teorema della media di Gauss e teoremi del massimo e minimo modulo
- Teorema dell'argomento e Teorema di Rouché
- Se f è differenziabile una volta, lo è infinite volte
- Disuguaglianza di Cauchy
- Serie di Taylor
- Serie di Laurent
- Settima lezione (martedì 26 ottobre)
- Discussione esercizi a casa
- Calcolo di integrali reali con il metodo dei residui I
-
-
- Ottava lezione (venerdì 29 ottobre)
- Calcolo di integrali reali con il metodo dei residui II
-
-
- (Lemma di Jordan)
corretto un segno nell'ultima formula (27-12-10)
- Esercitazione guidata in classe
[Soluzioni]
- Nona lezione (martedì 2 Novembre)
- Ancora integrali
- Ci sono modi "veloci" per calcolare i residui?
- Residui all'infinito
- Integrale di una funzione con punti di diramazione
- Funzioni generalizzate e delta di Dirac
- Funzioni generalizzate
- La funzione delta di Dirac
- Due commenti sulla delta
- Decima lezione (venerdì 5 Novembre)
- Ancora ancora integrali
- Poli lungo il cammino e loro aggiramento
- (Integrale di Fourier della Gaussiana)
- Calcolo di integrali mediante derivazione sotto il segno di integrale
- Interpretazione fisica delle conseguenze del teorema di Cauchy
- Residui = cariche
- Intermezzo: espansione in multipoli
- Serie di Laurent = Espansione in multipoli
- Antiderivata di una funzione analitica = Potenziale
- Elettrostatica e fluidi: un esempio
- Flusso termico stazionario
- Applicazioni ai fluidi
Esercizi di riepilogo (con risposte)
(non si dà un foglio separato con le soluzioni; le risposte sono sufficienti a ricostruire le soluzioni)
- Undicesima lezione (martedì 8 Novembre)
- Regolarizzazione di integrali contenenti 1/x
- Parte principale di Cauchy
- Spostamento infinitesimo di poli reali nel piano complesso
- Un esempio fisico: scattering quantistico
- La rigidità delle funzioni analitiche
- Prolungamento analitico
- Relazioni al bordo tra parte reale e parte immaginaria
- Relazioni di dispersione di Kramers e Kronig
- Dodicesima lezione (mercoledì 9 Novembre, recupero della
lezione del 1 ottobre cancellata per sospensione delle lezioni)
- Teoremi fondamentali sulle trasformazioni conformi
- Teorema di Rieman sulle rappresentazioni
- Punti fissi o invarianti di una trasformazione
- Esempi di trasformazioni conformi
- Proprietà generali delle funzioni armoniche
- Equazione di Laplace
- Teorema della media
- Teoremi del valore massimo e minimo
- Unicità delle soluzioni dell'equazione di Laplace
- Problemi di Dirichlet e di Neumann
- Il problema di Dirichlet nel piano
- Distribuzione di temperatura in una piastra e teorema di Gauss della media
- Risoluzione del problema per trasformazione conforme
- Ciò che è naturale per la la matematica lo è anche per la fisica
- Formula risolutiva per il disco unitario
- Il nucleo integrale di Poisson
- Il nucleo di Poisson come successione regolare approssimante la delta
- Teorema principale di convergenza uniforme
- Il problema generale
- Tredicesima lezione (venerdì 12 Novembre)
- ABC di analisi funzionale I
- Spazi di Banach
- Spazi di Hilbert
- Lo spazio delle successioni a quadrato sommabile
- Notazione di Dirac
- Sistemi ortogonali di vettori e serie di Fourier
- Schema riassuntivo
- Dimostrazioni
- Appendice: L'oscillatore armonico quantistico
- Quattordicesima lezione (martedì 16 Novembre)
- ABC di analisi funzionale II
- Un altro teorema sulle serie di Fourier
- Universalità dello spazio di Hilbert delle successioni a quadrato sommabile
- Lo spazio delle funzioni a quadrato integrabile e le serie di Fourier
- Dimostrazioni
- Quindicesima lezione (venerdì 19 Novembre)
- ABC di analisi funzionale III
- Spazi ortogonali e teorema di proiezione per uno spazio di Hilbert
- Approssimazione in media quadratica
- Due note alla lezione precedente
- Analisi di Fourier I
- Analisi di Fourier classica
- Serie di Fourier = Serie di Laurent
- Completezza del sistema trigonometrico
- Un'altra dimostrazione della convergenza L2
- Serie di Taylor, serie di Laurent e serie di Fourier
- Sedicesima lezione (martedì 23 Novembre)
- Analisi di Fourier II
- Regolarizzazione di somme e integrali
- Convoluzioni
- Una nuova notazione per le coordinate di Fourier
- L'importante contributo di Fejer
- Derivazione delle serie di Fourier
- Andamento all'infinito delle coordinate di Fourier
- Velocità di convergenza delle somme parziali
- Funzioni assolutamente integrabili
- Integrazione delle serie di Fourier
- Diciassettesima lezione (venerdì 26 Novembre)
- Analisi di Fourier III
- Teorema di approssimazione di Weierstrass
- Convergenza puntuale delle serie di Fourier
- Proprietà del prodotto di convoluzione
- Dizionario spazio/tempo <---> frequenza spaziale/temporale
- Analisi di Fourier e Fisica
- Il fattore 1/2 del teorema di Dirichlet
- Convergenza puntuale senza uniformità: Il fenomeno di Gibbs
- L'oscillatore armonico smorzato
- La memoria originale di Fourier e la buca di potenziale quantistica
- Calore e particella quantistica in un anello infinitamente sottile
- Spazi funzionali e fisica
Esercizi di riepilogo (Verifica a casa su analisi funzionale e serie di Fourier, Note e Complementi)
corretto il testo del penultimo esercizio (12-01-11)
[Soluzioni]
(che si consiglia di leggere solo dopo aver fatto molti tentativi per risolvere gli esercizi)
Diciottesima (venerdì 3 Dicembre)
- Analisi armonica nel discreto e in un intervallo infinito
- Qual è la struttura fondamentale dell'analisi di Fourier?
- Analisi armonica nel discreto
- Analisi armonica in un intervallo infinito
- Il paradiso dell'integrale di Fourier
- Osservazioni, notazioni e convenzioni
- Trasformate di Fourier di funzioni buone
- Proprietà delle trasformate di Fourier
- Dimostrazione del teorema di Fourier per funzioni buone
- Identità di Parseval-Plancherel
Diciannovesima lezione (venerdì 3 Dicembre)
- Il nucleo del calore e altre applicazioni
- Il nucleo del calore
- Oscillazioni di temperatura nel suolo
- Legge dei grandi numeri e limite centrale
Ventesima lezione (martedì 7 Dicembre)
- La trasformata di Fourier esce dal paradiso e va in L2
- Calcolo operatoriale
- Le funzioni di Hermite
- Estensione della trasformata di Fourier a L2: teorema di Wiener
- L'oscillatore armonico quantistico
- La trasformata di Fourier frazionaria
Ventunesima lezione (venerdì 10 Dicembre)
- Proprietà di analiticità della trasformata di Fourier
- Teorema di Plancherel
- Trasformate di Fourier analitiche
- Funzioni nulle nel passato
- Funzioni di tipo esponenziale
- Teoremi di Paley-Wiener
- Segnali a banda limitata e teorema del campionamento
- La trasformata di Laplace
- Trasformata di Laplace= trasformata di Fourier di funzioni nulle nel passato
- Ritorno a Kramers-Kronig
- Ricetta per il cammino d'inversione
- Definizione standard di trasformata di Laplace
- Formula standard di inversione complessa di Bromwich
Ventiduesima lezione (martedì 14 Dicembre)
- Analisi asintotica: il metodo della fase stazionaria
- Notazioni standard dell'analisi asintotica
- Lemma di Riemann-Lebesgue
- Metodo della fase stazionaria
- Asintotica a onde corte per l'evoluzione libera in meccanica quantistica
- Appendice: Calcolo di
- Perché le trasformate di Fourier spuntano fuori da tutte le parti
- Trasformate di Fourier e diffrazione in ottica
- Asintotica a grandi tempi in meccanica quantistica
- Asintotica a grandi tempi e metodo della fase stazionaria
Ventitreesima lezione (venerdì 17 Dicembre)
- Analisi asintotica: integrali di Laplace
- Metodo di Laplace
- Esempio: la formula di Stirling
- Il lemma di Watson
- Applicazione del metodo di Laplace al calcolo delle transizioni di fase magnetiche
- Serie asintotiche
- Confronto tra serie asintotiche e serie convergenti
- Sviluppi asintotici
- Proprietà degli sviluppi asintotici
Ventiquattresima lezione (martedì 21 Dicembre)
- Ritorno al gruppo delle trasformazioni di Möbius
- Lo spazio proiettivo degli stati di un qubit
- Spazio proiettivo degli stati del qubit = Sfera di Bloch
- Sfera di Bloch= sfera di Riemann
- Trasformazioni unitarie proiettive del qubit
Lezione enne (mercoledì 22 Dicembre)
- Trasformazioni di Möbius e gruppo di Lorentz
- Il gruppo SL(2, C) e il gruppo di Lorentz
- Sfera di Riemann = sfera celeste
Il materiale aggiunto dopo la fine del corso
(p.e., soluzioni di esercizi) è stato inserito
nella lezione pertinente ed
è segnalato con una palla lampeggiante. È inoltre indicata la data dell'inserimento.
PROVE SCRITTE
- 11 gennaio 2011
Votazioni
- 18 febbraio 2011
Votazioni
- 7 giugno 2011
Votazioni
- 18 luglio 2011
Votazioni
- 8 agosto 2011
Votazioni